Question

14．已知方程x²-4x+2=0得兩根為α，β，不解方程求下列各式的值．
（1）$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$；（2）α²+4β

Answer 1

分析 由根與系數的關系即可得出α+β=4、α•β=2．
（1）將$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$變形為$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$，再代入數據即可得出結論；
（2）將4替換成α+β，展開后再利用配方法即可將α²+4β變形為（α+β）²-αβ，代入數據即可得出結論．

解答 解：∵方程x²-4x+2=0得兩根為α，β，
∴α+β=4，α•β=2．
（1）$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{{α}^{2}•{β}^{2}}$=$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$=$\frac{{4}^{2}-2×2}{{2}^{2}}$=3；
（2）α²+4β=α²+（α+β）•β=α²+β²+αβ=（α+β）²-αβ=4²-2=14．

點評 本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）將$\frac{1}{{α}^{2}}$+$\frac{1}{{β}^{2}}$變形為$\frac{（α+β）^{2}-2αβ}{（αβ）^{2}}$；（2）將α²+4β變形為（α+β）²-αβ．