Question

【題目】拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣3x交于點A，點A橫坐標為n﹣1，其中n＞1，將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后形成OB，點B恰好在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式（用含n的代數(shù)式表示）；

（2）若拋物線與直線y＝﹣x+2n﹣5交于C，D兩點，且CD＝2，則m值為多少？

（3）若n為整數(shù)，當在x軸下方的拋物線上恰好有5個整數(shù)點（橫坐標為整數(shù)），求出n值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣（4n﹣6）x+3n2﹣11n+8；（2）n＝；（3）n＝﹣1，﹣2，﹣3或3或4．

【解析】

（1）點A在直線y=-3x，則點A（n-1，-3n+3），將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后形成OB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得點B（3n-3，n-1），即可求解；

（2）過D點作x軸的垂線，與過C點作y軸的垂線交于E點，則xC-xD=CD=2，則，則，即可求解；

（3）拋物線在x軸下方恰好有5個整數(shù)點，則4＜|x1-x2|＜6，則16＜（|x1-x2|）2＜36，即可求解．

（1）由題意得點A在直線y＝﹣3x，且A點橫坐標為n-1,

∴點A（n﹣1，﹣3n+3），

過A，B兩點分別向y軸作垂線，垂足分別為N、M，

∴，

∵，

∴，

，

∴B點坐標為（3n-3，n-1），

將A，B兩點代入拋物線解析式求得：y＝x2﹣（4n﹣6）x+3n2﹣11n+8；

（2）過D點作x軸的垂線，與過C點作y軸的垂線交于E點，

已知直線y＝﹣x+2n﹣5交x軸于M（2n-5,0），交y軸于點N（0，2n-5），

，，，

∵CD＝2，

∴，

∵直線與拋物線相交，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

解得，（舍去）

∴n＝

（3）令y＝0，則y＝x2﹣（4n﹣6）x+3n2﹣11n+8＝0，

則x1+x2＝4n﹣6，x1x2＝3n2﹣11n+8，

∵拋物線在x軸下方恰好有5個整數(shù)點，

∴4＜|x1﹣x2|＜6，則16＜（|x1﹣x2|）2＜36，

（|x1﹣x2|）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4n2﹣4n+4，

∴3＜n2﹣n＜18，

＜n＜或＜n＜

∵n為整數(shù)，

故n＝﹣1，﹣2，﹣3或3或4．