Question

【題目】已知：如圖， 是邊長為3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動，設點P的運動時間，解答下列各問題：

經過秒時，求的面積；

當t為何值時， 是直角三角形？

是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當秒或秒時， 是直角三角形（3）無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是面積的．

【解析】試題分析：（1）根據路程=速度×時間，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面積公式進行解答即可；

（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根據BP，BQ的表達式和∠B的度數進行求解即可；

（3）本題可先用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數關系式，然后另y等于三角形ABC面積的三分之二，可得出一個關于t的方程，如果方程無解則說明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可.

試題解析： 經過秒時， ，

是邊長為3cm的等邊三角形，

，

，

的面積；

設經過t秒是直角三角形，

則，

中， ，

，

中， ，若是直角三角形，則或，

當時， ，

即秒，

當時， ，

秒，

答：當秒或秒時， 是直角三角形．

過P作于M，

中， ，

，

，

，

與t的關系式為，

假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是面積的，

則，

，

，

，

方程無解，

無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是面積的.