Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C，連接BC．過點A作BC的平行線交拋物線于點D．

（1）求△ABC的面積；

（2）已知點M是拋物線的頂點，在直線AD上有一動點E，x軸上有一動點F，當ME+BE最小時，求|CF﹣EF|的最大值及此時點F的坐標；

（3）如圖2，在y軸正半軸上取點Q，使得CB＝CQ，點P是x軸上一動點，連接PC，將△CPQ沿PC折疊至△CPQ′.連接BQ，BQ′，QQ′，當△BQQ′為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）S△ABC＝6；（2）|CF﹣EF|的最大值為2，點F的坐標為（﹣3，0）；（3）點P的坐標為（3﹣6，0），（﹣3，0）或（，0）．

【解析】

（1）分別將x＝0和y＝0代入解析式即可求出A，B，C三點的坐標，即可求出△ABC的面積；

（2）先證△ABC是直角三角形，再作點B關于直線AD的對稱點B'，連接MB'，交AD于E，則此時ME+BE有最小值，作點E關于x軸的對稱點E'，連接CE'并延長CE'交x軸于F，則此時|CF﹣EF|有最大值，為CE'的長度，根據點的坐標求出CE'的長度，此時點F與點B重合，即知點F坐標；

（3）分三種情況通過等邊三角形，直角三角形的性質及勾股定理求出點P的坐標．

解：（1）在拋物線y＝中，

當y＝0時，x1＝﹣3，x2＝，

∴A（，0），B（﹣3，0），

當x＝0時，y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

連接AC，

∴S△ABC＝ABOC＝6；

（2）在Rt△ABC中，

AC＝＝2，

BC＝＝6，

AB＝4，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

如圖，作點B關于直線AD的對稱點B'，連接MB'，交AD于E，則此時ME+BE有最小值，

且∠CBB'＝90°，∠ABB'＝60°，

連接AB'，則AB＝AB'，

∴△ABB'為等邊三角形，

∴BB'＝AB'，

∴點B'在AB的垂直平分線上，

又∵M為拋物線頂點，

∴點M，B'同為拋物線對稱軸上的點，

∵拋物線對稱軸為x＝＝﹣，

∴xE＝﹣，

將C（0，﹣3），B（﹣3，0）代入一次函數解析式，

得，

解得k＝﹣，b＝﹣3，

∴yBC＝﹣x﹣3，

∵BC∥AD，

∴設yAD＝﹣x+b，

將A（，0）代入，

得b＝﹣1，

∴yAD＝﹣x﹣1，

當xE＝﹣時，yE＝2，

∴E（﹣，2），

作點E關于x軸的對稱點E'（﹣，﹣2），

連接CE'并延長CE'交x軸于F，則此時|CF﹣EF|有最大值，為CE'的長度，

CE'＝＝2，

理由如下：

在x軸上F外任取一點F'，連接F'E'，CF'，

在△CE'F'中，都有|CF'﹣EE'|＜CE'，

∴當CE'F在一條直線上時，|CF﹣EF|有最大值，

將C（0，﹣3）E'（﹣，﹣2）代入一次函數解析式，

得，

解得k＝﹣，b＝﹣3，

∴yCE'＝﹣x﹣3，

∴直線CE'與直線CB重合，

∴點F與點B重合，

∴點F的坐標為（﹣3，0），

∴|CF﹣EF|的最大值為2

CE'＝＝2；此時點F的坐標為（﹣3，0）；

（3）①如圖2﹣1，當Q'B＝Q'Q時，

由（1）知∠ABC＝30°，

∴∠BCA＝60°，

∵CB＝CQ，

∴△CBQ為等邊三角形，

∴CQ＝BC＝6，

又∵BQ'＝QQ'，

∴∠BCQ'＝∠QCQ’＝30°，∠CBQ'＝∠CQ'B＝∠CQ'Q＝∠CQQ'＝75°，

∴∠Q'CP＝∠QCP＝∠PQ'C＝∠PQC＝15°，

∴∠Q'PQ＝60°，

∴△QQ'P是等邊三角形，△BQ'P是等腰直角三角形，

設PQ＝a，

則QQ'＝Q'P＝Q'B＝a，

∴BP＝a，

在Rt△QPO中，QP2＝OP2＝OQ2，

∴a2+（3﹣a）2+32，

解得a1＝3+3（舍去），a2＝3﹣3，

∴BP＝a＝6﹣6，

∴OP＝6﹣3，

∴P（3﹣6，0）；

②如圖2﹣2，當BQ＝BQ'時，點P與點B重合，

∴P（﹣3，0）；

③如圖2﹣3，當QB＝QQ'時，點P與點A重合，

∴P（﹣，0）．

綜上所述，當△BQQ′為等腰三角形時，點P的坐標為（3﹣6，0），（﹣3，0）或（，0）．