Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），若點Q的坐標為（x，|x﹣y|），則稱點Q為點P的“關聯點”．

（1）請直接寫出點（2，2）的“關聯點”的坐標；

（2）如果點P在函數y＝x﹣1的圖象上，其“關聯點”Q與點P重合，求點P的坐標；

（3）如果點M（m，n）的“關聯點”N在函數y＝x2的圖象上，當0≤m≤2時，求線段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；（2）（2，1）；（3）當0≤m≤2時，線段MN的最大值為6．

【解析】

（1）根據“關聯點”的定義結合點的坐標即可得出結論；

（2）根據點P在函數y＝x﹣1的圖象上，即可得出P（x，x﹣1）、Q（x，1），再根據點P、Q重合即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）根據“關聯點”的定義找出點N的坐標，分m≥n和m＜n兩種情況考慮，根據點N在函數y＝x2的圖象上，即可用含m的代數式表示出n，再根據兩點間的距離公式即可找出MN的關系式，利用一次（二次）函數的性質即可求出線段MN的最大值．

解：（1）∵|2﹣2|＝0，

∴點（2，2）的“關聯點”的坐標為（2，0）．

（2）∵點P在函數y＝x﹣1的圖象上，

∴P（x，x﹣1），則點Q的坐標為（x，1），

∵點Q與點P重合，

∴x﹣1＝1，解得：x＝2，

∴點P的坐標為（2，1）．

（3）∵點M（m，n），

∴點N（m，|m﹣n|）．

∵點N在函數y＝x2的圖象上，

∴|m﹣n|＝m2．

（i）當m≥n時，m﹣n＝m2，

∴n＝﹣m2+m，

∴M（m，﹣m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣m2+m﹣m2|＝m|2m﹣1|．

①當0≤m≤時，MN＝﹣2m2+m＝﹣2（m﹣）2+，

∴當m＝時，MN取最大值，最大值為．

②當＜m≤2時，MN＝2m2﹣m＝2（m﹣）2+，

當m＝2時，MN取最大值，最大值為6．

（ii）當m＜n時，n﹣m＝m2，

∴n＝m2+m，

∴M（m，m2+m），N（m，m2）．

∵0≤m≤2，

∴MN＝|yM﹣yN|＝|m2+m﹣m2|＝m，

當m＝2時，MN取最大值2．

綜上所述：當0≤m≤2時，線段MN的最大值為6．