Question

【題目】已知拋物線C：y1＝ax2－ah(2x－h)－2，直線l：y2＝k(x－h)－2．

(1)求證：直線l恒過拋物線C的頂點；

(2)當a＝－1，m≤x≤2時，y1≥x－4恒成立，求m的最小值；

(3)當0＜a≤3，k＞0時，若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數的點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）k＞6．

【解析】

(1)由拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為(h，-2)，然后證明點(h,-2)符合直線y2＝k(x－h)－2的解析式即可;

(2)令,依據拋物線的解析式可得到拋物線的頂點在直線y=-2上，由m≤x≤2時，y1≥x－4恒成立可得到拋物線的頂點坐標為(2，-2)，然后找出拋物線y1＝ax2－ah(2x－h)－2位于直線上方時自變量x的取值范圍，從而可確定出m的最小值;

(3)由(1)可知拋物線C與直線l都過點A(h,-2).當0<a≤3時，k>0,在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數點，即當x=h+2時，恒成立，然后由可得到關于k的不等式，從而可求得k:的取值范圍.

解：(1)y1＝ax2－ah(2x－h)－2=

拋物線C的頂點坐標為(h,-2)，當x=h時,y2＝k(h－h)－2=-2，所以直線l恒過拋物線C的頂點（h,-2）;

(2)當a=-1時,拋物線C解析式為y1=，令如圖所示:

拋物線C的頂點在直線y=-2上移動,圖1當m≤x≤2時,y1≥x－4恒成立，則可知拋物線C的頂點為(2,-2)，設拋物線C與直線除頂點外的另一交點為M,此時點M的橫坐標即為m的最小值,由，解得,所以m的最小值為1.

(3)如圖2所示:由(1)可知:拋物線C與直線l都過點A(h,-2).如圖所示：

當0<a≤3時,k>0,在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標為整數點,即當x=h+2時,恒成立.

所以，整理得：得:k>2a.又因為0<a≤3，所以0<2a<6，所以k>6.

分析: