Question

【題目】如圖：拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x﹣1交于點A，B．其中點B的橫坐標為2．點P（m，n）是線段AB上的動點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？

（3）在平角直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，記頂點都是整點的四邊形為整點四邊形，在（2）的情況下，在平面內找出所有符合要求的整點R，使P、Q、B、R為整點平行四邊形，請直接寫出整點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）l＝﹣m2+m+2，當m＝時，PQ最長，最大值為；（3）符合條件的點R有，它的坐標為（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）先由一次函數解析式求出A，B兩點的坐標，再根據待定系數法，可得拋物線的解析式；

（2）根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）使P，Q，B，R為頂點的四邊形是平行四邊形，可以分兩種情況：一是PQ為一邊時，根據PQ的長是正整數，可得PQ，根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，根據點的坐標表示方法，可得答案，二是PQ為一條對角線時，根據平行四邊形的性質，PQ與BR互相平分，此時R與C 重合．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x﹣1交于點A，B，

∴當y＝0時，﹣x﹣1＝0，

解得x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵點B的橫坐標為2，

∴﹣x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，

∴B（2，﹣3），

將A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：

，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵點P在直線AB上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝﹣m﹣1，Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，

∴當m＝＝時，PQ的長l最大＝﹣++2＝．

答：線段PQ的長度l與m的關系式為：l＝﹣m2+m+2，當m＝時，PQ最長，最大值為；

（3）由（2）可知，0＜PQ≤．

①當PQ為邊時，BR∥PQ且BR＝PQ．

∵R是整點，B（2，﹣3），

∴PQ是正整數，

∴PQ＝1，或PQ＝2．

當PQ＝1時，

﹣m2+m+2=1，

∴m=,

此時P，Q不是整點，不合題意舍去，

當PQ＝2時，

﹣m2+m+2=2，

∴m1=0，m2=1，

∵BR＝2，此時點R的橫坐標為2，

∴縱坐標為﹣3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5，

即R（2，﹣1）或R（2，﹣5）．

②當PQ為平行四邊形的一條對角線，則PQ與BR互相平分，

當PQ＝1時，即：﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝1，此時x不是整數，

當PQ＝2時，即﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，此時x1＝﹣1，x2＝0；

∴x1＝﹣1，R與點C重合，即R（0，﹣3），

x2＝0；此時R（﹣2，﹣1）．

綜上所述，符合條件的點R有，它的坐標為（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．