Question

【題目】（1）如圖（1），在△ABC 中，∠BAC=70°，點 D 在 BC 的延長線上，三角形的內角∠ABC 與外角∠ACD 的角平分線 BP，CP 相交于點 P，求∠P 的度數.（寫出完整的解答過程）

（感知）：圖（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代數式表示）

（探究）：如圖（2）在四邊形 MNCB 中，設∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD 的角平分線 BP，CP 相交于點 P.為了探究∠P 的度數與 α 和 β 的關系，小明同學想到將這個問題轉化圖（1）的模型，因此，他延長了邊 BM 與 CN，設它們的交點為點 A， 如圖（ 3 ）， 則∠ A= （用含有 α 和 β 的代數式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代數式表示）

（拓展）：將（2）中的 α+β＞180°改為 α+β＜180°，四邊形的內角∠MBC 與外角∠NCD 的角平分線所在的直線相交于點 P，其它條件不變，請直接寫出∠P＝ 　　．（用 α，β的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）35°；感知：m°，探究：α+β-180°，（α+β）-90°；拓展：90°-α-β

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠CBP=∠ABC，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和和角平分線的定義表示出∠DCP，然后整理即可得到∠P=∠A，代入數據計算即可得解．

[感知]求∠P度數的方法同（1）

[探究] 添加輔助線，利用（1）中結論解決問題即可；根據四邊形的內角和定理表示出∠BCN，再表示出∠DCN，然后根據角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠DCN，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠P+∠PBC=∠PCD，然后整理即可得解；

拓展：同探究的思路求解即可

（1）∵BP平分∠ABC，

∴∠CBP=∠ABC，

∵CP平分△ABC的外角，

∴∠DCP=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC，

在△BCP中，由三角形的外角性質，∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P，

∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠P，

∴∠P=∠A=×70°=35°．

感知：由（1）知∠P=∠A

∵∠BAC=m°，

∴∠P=m°，

故答案為：m°，

探究：延長BM交CN的延長線于A．

∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-（180°-α）-（180°-β）=α+β-180°，

由（1）可知：∠P=∠A，

∴∠P=（α+β）-90°；

故答案為：α+β-180°，（α+β）-90°；

[拓展] 如圖③，延長MB交NC的延長線于A．

∵∠A=180°-α-β，∠P=∠A，

∴∠P=（180°-α-β）=90°-α-β

故答案為：90°-α-β