Question

【題目】如圖，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P、Q兩點），

（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求弧AQ的長（圖1）；

（2）若∠AOB=120°，求AB的長（圖2）；

（3）如果線段AB與圓O有兩個公共點A、M，當AO⊥PM于點N時，求 的值（圖3）．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）．

【解析】（1）根據直角三角形的性質求出∠B的度數，得到∠AOB的度數，再根據弧長的計算公式進行求解即可；

（2）連接AP，過點A作AM⊥BP于M，根據特殊角的三角函數值和已知條件求出AM，再根據BM=OM+OB，求出BM，最后根據勾股定理求出AB；

（3）連接MQ，根據PQ是圓O的直徑和AO⊥PM，得出ON∥MQ，求出ON=AO，設ON=x，則AO=4x，根據OA的值求出x的值，再根據PN=，求出PN，最后根據特殊角的三角函數值即可得出答案.

解：（1）∵直線AB與圓O相切，

∴∠OAB=90°，

∵OQ=QB=1，

∴OA=1，OB=2，

∴OA=OB，

∴∠B=30°，

∴∠AOB=60°，

∴AQ==；

（2）如圖1，

連接AP，過點A作AM⊥BP于M，

∵∠AOB=120°，∴∠AOP=60°，

∵OM=，∴BM=OM+OB=+2=，

∴AB===；

（3）如圖2，連接MQ，

∵PQ為圓O的直徑，∴∠PMQ=90°，

∵ON⊥PM，∴AO∥MQ，

∵PO=OQ，

∴ON=MQ，

∵OQ=BQ，

∴MQ=AO，

∴ON=AO，

設ON=x，則AO=4x，

∵OA=1，

∴4x=1，

∴x=，

∴ON=，

∴PN===，

==.