Question

【題目】如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數；

（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點．試說明這種作法的依據．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點．

【解析】

(1)結合等邊三角形的性質，根據SAS可證△AMB≌△ENB；

(2)連接MN，由(1)的結論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數；

(3)根據(2)中費馬點的定義，又△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段BF上，因此線段EC和BF的交點即為△ABC的費馬點.

（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，

∴AB=BE，∠ABE=60°．

而∠MBN=60°，

∴∠ABM=∠EBN．

在△AMB與△ENB中，

∵

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）連接MN．

由（1）知，AM=EN．

∵∠MBN=60°，BM=BN，

∴△BMN為等邊三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．

此時，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；

∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°；

∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°．

（3）由（2）知，△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段BF上．

因此線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點．

故答案為：（1）見解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點．