Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，﹣），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值．

（3）點F （0，y）是y軸上一動點，當y為何值時，FC+BF的值最小．并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）點E（﹣，﹣），＝；（3）﹣，．

【解析】

（1）將點C、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）當△AOC∽△AEB時，＝（）2＝（）2＝，求出yE＝﹣，由△AOC∽△AEB得：＝＝，即可求解；

（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，即可求解．

解：（1）由題可列方程組：，

解得：

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵拋物線y＝x2﹣x﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點，

∴點A（﹣1，0），點B（3，0），

∴AO＝1，BO＝3，

∴∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，

設直線AC的解析式為：y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣2x﹣2；

當△AOC∽△AEB時

∴＝（）2＝（）2＝，

∵S△AOC＝1，

∴S△AEB＝，

∴AB×|yE|＝，AB＝4，則yE＝﹣，

則點E（﹣，﹣）；

由△AOC∽△AEB得：＝＝，

∴＝；

（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，

則FG＝CFsin∠FCG＝CF，

∴CF+BF＝GF+BF≥BE，

當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，

由（2）可知∠ABE＝∠ACO

∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，

|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，

∴當y＝﹣時，即點F（0，﹣），CF+BF有最小值為.