Question

【題目】如圖，點C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．∠APB＝120°．

（1）求證：△ACP∽△PDB；

（2）當AC＝4，BD＝9時，試求CD的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6．

【解析】

（1）先證明∠ACP＝∠PDB＝120°，然后由∠A+∠B＝60°，∠DPB+∠B＝60°可證明∠A＝∠DPB，從而可證明△ACP∽△PDB．

（2）由相似三角形的性質得到 ，根據等邊三角形的性質得到PC＝PD＝CD，等量代換得到 ，即可得到答案．

（1）證明：∵△PCD為等邊三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝60°．

∴∠ACP＝∠PDB＝120°．

∵∠APB＝120°，

∴∠A+∠B＝60°．

∵∠PDB＝120°，

∴∠DPB+∠B＝60°．

∴∠A＝∠DPB．

∴△ACP∽△PDB．

（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，

∴，

∵△PCD是等邊三角形，

∴PC＝PD＝CD，

∴，

∴CD2＝ACBD．

∵AC＝4，BD＝9，

∴CD＝6．