Question

【題目】已知拋物線y＝x2．

（1）在拋物線上有一點A(1，1)，過點A的直線l與拋物線只有一個公共點，直接寫出直線l的解析式；

（2）如圖1，拋物線有兩點F、G，連接FG交y軸于M，過G作x軸的垂線，垂足為H，連接HM、OF，求證：OF∥MH；

（3）將拋物線y＝x2沿直線y＝x移動，新拋物線的頂點C，與直線的另一個交點為B，與y軸的交點為D，作直線x＝4與直線CD、BD交于點N、E，如圖2，求EN的長．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣1；（2）證明見解析；（3）EN＝3．

【解析】

（1）設直線方程為y＝kx+b，將點A代入找到k,b的關系，聯立拋物線與直線l的表達式并整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，△＝k2﹣4k+4＝0，即可求解；

（2）設F（a，a2），G（b，b2），所以直線FG的解析式為y＝（a+b）x﹣ab，M（0，﹣ab），H（b，0），所以直線MH的解析式為＝ax﹣ab，直線OF的解析式為y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）設新拋物線的解析式為y＝（x﹣4m）2+3m，聯立y＝（x﹣4m）2+3m，y＝x，得＝4m，＝4m+，D（0，16m2+3m），所以直線BD的解析式為y＝（﹣4m）x+16m2+3m，直線CD的解析式為y＝﹣4mx+16m2+3m．當x＝4時，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，即可求解．

解：（1）設直線l的表達式為：y＝kx+b，

將點A（1，1）的坐標代入上式得

解得

∴直線l的表達式為：y＝kx+1﹣k，

整理得：x2﹣kx+k﹣1＝0，

＝k2﹣4k+4＝0，解得：k＝2，

故直線l的表達式為：y＝2x﹣1；

（2）設F（a，a2），G（b，b2），

設直線FG的解析式為

將點F,G代入解析式中得

解得

∴直線FG的解析式為y＝（a+b）x﹣ab，

∴M（0，﹣ab），H（b，0）．

設直線MH的解析式為

將點M,H代入解析式中得

解得

∴直線MH的解析式為＝ax﹣ab，

設直線OF的解析式為

將點F代入解析式中得

解得

∴直線OF的解析式為y＝ax，

所以OF∥MH；

（3）設新拋物線的解析式為y＝（x﹣4m）2+3m，與直線 聯立得

解得＝4m，＝4m+，

∴，

∴

當 時，

∴D（0，16m2+3m），

設直線BD的解析式為

將點B,D代入解析式中得

解得

所以直線BD的解析式為y＝（﹣4m）x+16m2+3m，

設直線CD的解析式為

將點C,D代入解析式中得

解得

直線CD的解析式為y＝﹣4mx+16m2+3m．

當x＝4時，＝﹣13m+16m2+3，＝﹣13m﹣16m2，

所以EN＝3．