Question

【題目】已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，點P是直線AB上任意一點，連接PC，在∠PCD內部作射線CQ與對角線BD交于點Q（與B、D不重合），且∠PCQ＝30°．

（1）如圖，當點P在邊AB上，且BP＝3時，求PC的長；

（2）當點P在射線BA上，且BP＝n（0≤n＜8）時，求QC的長；（用含n的式子表示）

（3）連接PQ，直線PQ與直線BC相交于點E，如果△QCE與△BCP相似，請直接寫出線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）QC＝（0≤n＜8）；（3）BP的值為2+2或2﹣2．

【解析】

（1）如圖1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，由勾股定理即可得出答案．

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H，連接PQ，設PC交BD于O．證明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ，推出PC＝CQ，在Rt△PHB中，BH＝n，PH＝n，根據PC2＝PH2+CH2，可得結論．

（3）分三種情形：①如圖2中，若直線QP交直線BC于B點左側的點E．②如圖3中，若直線QP交直線BC于C點右側的點E．③如圖4中，當點P在AB的延長線上時，由相似三角形的性質分別求解即可．

解：（1）如圖1中，作PH⊥BC于H．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝4，AD∥BC，

∴∠A+∠ABC＝180°，

∵∠A＝120°，

∴∠PBH＝60°，

∵PB＝3，∠PHB＝90°，

∴BH＝PBcos60°＝，PH＝PBsin60°＝，

∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，

∴PC═＝＝．

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H，連接PQ，設PC交BD于O．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD＝CBD＝30°，

∵∠PCQ＝30°，

∴∠PBO＝∠QCO，

∵∠POB＝∠QOC，

∴△POB∽△QOC，

∴，

∴，

∵∠POQ＝∠BOC，

∴△POQ∽△BOC，

∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，

∴PQ＝QC，

∴PC＝QC，

在Rt△PHB中，BP＝n，

∴BH＝n，PH＝n，

∵PC2＝PH2+CH2，

∴3QC2＝（n）2+（4﹣n）2，

∴QC＝（0≤n＜8）．

（3）①如圖2中，若直線QP交直線BC于B點左側的點E．

此時∠CQE＝120°，

∵∠PBC＝60°，

∴△PBC中，不存在角與∠CQE相等，

此時△QCE與△BCP不可能相似．

②如圖3中，若直線QP交直線BC于點C右側的點E．

則∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，

∵∠PCB＞∠E，

∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，

作CF⊥AB于F，則BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，

∴PF＝CF＝2，

此時BP＝2+2，

③如圖4中，當點P在AB的延長線上時，

∵△CBE與△CBP相似，

∴∠CQE＝∠CBP＝120°，

∴∠QCE＝∠CBP＝15°，

作CF⊥AB于F．

∵∠FCB＝30°，

∴∠FCB＝45°，

∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，

∴BP＝2﹣2．

綜上所述，滿足條件的BP的值為2+2或2﹣2．