Question

【題目】如圖，線段是的直徑，點為上一點，于點，交于點與交于點，點為的延長線上一點，且．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若的半徑為5，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）sin∠BAE=.

【解析】

（1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；

（2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論；

（3）連接BE，得Rt△ABE，由得BE=CE=6，進而可求出的值

（1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，

∴∠ODB=∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD=90°，

∴∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，

即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖1所示：

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠CAE=∠ECB，

∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴，

∴CE2=EHEA；

（3）連接BE，如圖2所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵⊙O的半徑為5，

∴AB=10，

∵，

∴BE=CE=6，

∴sin∠BAE=.