Question

【題目】已知∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=，I為內心，則△ABC的內切圓半徑r與△BIC的外接圓半徑R之比為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作ID⊥AC于D，△CIB外接圓的圓心為O，作OE⊥BC于E，交直線ID于F，連接OC，求出直角三角形ABC的內切圓半徑，由勾股定理得出方程，求出△BIC的外接圓半徑R，即可得出結果．

作ID⊥AC于D，△CIB外接圓的圓心為O，作OE⊥BC于E，交直線ID于F，連接OC，如圖所示：

∵∠ACB=90°，∠CAB=a，且sina=，

設AB=5b，BC=4b，則AC=3b，

∴△ABC的內切圓的半徑，

∵I是Rt△ABC的內心，

∴CD=ID=CG=b，

∵OE⊥BC，

∴CE=BE=BC=2b，

易得四邊形CDFE為矩形，

∴EF=CD=b，DF=CE=2b，

∴IF=2b-b=b，

設OE=x，⊙O的半徑為R，則OF=x+b，OC=OI=R，

在Rt△OCE中，x+（2b）=R①，

在Rt△OIF中，（x+b）+b=R②，

②-①得：2ax=2a，解得x=a，

∴

∴△ABC的內切圓半徑r與△BIC的外接圓半徑R之比=；

故選：B．