Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）．

（1）求a的值和拋物線的頂點坐標；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣ x+2經過點B（3，0），

∴9a﹣ ×3+2=0，

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2，

∵y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （x2+3x）+2=﹣ （x+ ）2+ ，

∴頂點坐標為（﹣ ， ）

（2）

解：∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2的對稱軸為直線x=﹣ ，

與x軸交于點A和點B，點B的坐標為（3，0），

∴點A的坐標為（﹣6，0）．

又∵當x=0時，y=2，

∴C點坐標為（0，2）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，

則 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2．

∵S△AMC=S△ABC，

∴點B與點M到AC的距離相等，

又∵點B與點M都在AC的下方，

∴BM∥AC，

設直線BM的解析式為y= x+n，

將點B（3，0）代入，得 ×3+n=0，

解得n=﹣1，

∴直線BM的解析式為y= x﹣1．

由 ，解得 ， ，

∴M點的坐標是（﹣9，﹣4）

（3）

解：在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大．理由如下：

∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于點A和點B，

∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱．

連接BC并延長，交直線x=﹣ 于點N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．

設直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點的坐標代入，

得 ， ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

當x=﹣ 時，y=﹣ ×（﹣ ）+2=3，

∴點N的坐標為（﹣ ，3），d的最大值為BC= = ．

【解析】（1）先把點B的坐標代入y=ax2﹣ x+2，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標；（2）先由拋物線的解析式y=﹣ x2﹣ x+2，求出與x軸的交點A的坐標，與y軸的交點C的坐標，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點B與點M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點M既在過B點與AC平行的直線上，又在拋物線y=﹣ x2﹣ x+2上，所以先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y= x+2，再設直線BM的解析式為y= x+n，將點B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為y= x﹣1，然后解方程組 ，即可求出點M的坐標；（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=﹣ 于點N，連接AN，根據軸對稱的性質得出AN=BN，并且根據三角形三邊關系定理得出此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．運用待定系數法求出直線BC的解析式，再將x=﹣ 代入，求出y的值，得到點N的坐標，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．