Question

【題目】如圖，已知平行四邊形中，，，.平行四邊形的頂點(diǎn)在線段上（點(diǎn)在的左邊），頂點(diǎn)分別在線段和上.

（1）求證：；

（2）如圖1，將沿直線折疊得到，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形是菱形；

（3）如圖2，若四邊形是矩形，且，求的長(zhǎng).（結(jié)果中的分母可保留根式）

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：，，從而得出，即可得，理由AAS即可證出，從而得出；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得：，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得，從而得出，理由SAS即可證出，從而得出，根據(jù)菱形的定義可得四邊形是菱形；

（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于.設(shè)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)可得，，然后用分別表示出HQ、HN和BH，利用銳角三角函數(shù)即可求出x，從而求出的長(zhǎng).

解：（1）如圖，∵四邊形是平行四邊形，

∴.

∴.

∵四邊形是平行四邊形，

∴，.

∴.

∴

在和中

∴.

∴.

（2）如圖，∵與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

∴.

由（1）得，

∴.

∴.

由（1）得，

∴.

∴.

由（1）得，

∴.

∵，

在和中

∴.

∴.

∴是菱形.

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于.設(shè)，

∵四邊形是矩形，，

∴，，

∴，，.

在中，由，得

，

解得.

∴.