Question

如圖（1），在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點作與OB垂直的直線OF．動點P從點B出發沿折線BC→CO方向以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，同時動點Q從點C出發沿折CO→OF方向以相同的速度運動，設點P的運動時間為t秒，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．
（1）求OC、BC的長；
（2）設△CPQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）當點P在OC上、點Q在OF上運動時，如圖（2），PQ與OA交于點E，當t為何值時，△OPE為等腰三角形？求出所有滿足條件的t的值．

Answer 1

（1）在Rt△AOB中，∠A=90°，AB=6，OB=4

3

，
sin∠AOB=

AB

OB

=

6

4 3

=

3

2

，則∠AOB=60°．
因為OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，OA=

1

2

OB=2

3

．
在Rt△AOC中，∠A=90°，∠AOC=30°，AC=

OA

3

=2，OC=2AC=4，
所以BC=AB-AC=4．

（2）本題分三種情況：
①當點P在BC上、點Q在OC上運動時，（0＜t＜4）如圖（1）CP=4-t，CQ=t
過點P作PM⊥OC交OC的延長線于點M．
在Rt△CPM中，∠M=90°，∠MCP=60°
∴CM=

1

2

PC=

1

2

(4-t)，PM=

3

CM=

3

2

(4-t)，
∵S△CPQ=

1

2

QC•PM，
∴S=

1

2

×t•

3

2

(4-t)=

3

4

t(4-t)．
②當t=4時，點P與點C重合，點Q與點O重合，此時，不能構成△CPQ；
③當點P在OC上、點Q在OQ上運動時即（4＜t≤8），
如圖（2）PC=t-4，OQ=t-4，
過點Q作QN⊥OC交OC于點N，
在Rt△OQN中，∠QNO=90°，∠QON=60°，ON=

1

2

OQ=

1

2

(t-4)，QN=

3

ON=

3

2

(t-4)，
所以S=

1

2

PC•QN=

1

2

×(t-4)•

3

2

(t-4)=

3

4

(t-4)2，
綜上所述S=

3 4 t(4-t)(0＜t＜4) 3 4 (t-4)2

．

（3）△OPE為等腰三角形分三種情況：
①當OP=OE時，OQ=t-4，OP=8-t
過點E作EH⊥OQ于點H，則QH=EH=

1

2

OE，OH=

3

2

OE，

∴OQ=HQ+OH=(

1

2

+

3

2

)OE=t-4．∴OE=

2(t-4)

1+ 3

=OP=8-t，解得：t=

12+4 3

3

，
②當EP=EO時，如圖：△OPQ為30°的直角三角形，OQ=

1

2

OP，

1

2

(8-t)=t-4，t=

16

3

．
③當PE=PO時，PE∥OF，PE不與OF相交，故舍去．
綜上所述，當t=

12+4 3

3

和t=

16

3

時，△OPE為等腰三角．