Question

在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，由D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．設DE=a，DF=b，且實數a，b滿足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程

1

4

x²-x•sinA+

3

sinA-

3

4

=0有兩個相等的實數根．
（1）試求實數a，b的值；
（2）試求線段BC的長．

Answer 1

（1）由條件有

3a=4b a2b=48

，解得

a=4 b=3

；
（2）又由關于x的方程的判別式△=sin²A-

3

sinA+

3

4

=（sinA-

3

2

）²=0，則sinA=

3

2

，而∠A為三角形的一個內角，所以∠A₁=60°或∠A₂=120° 2分
當∠A=60°時，△ABC為正三角形，∠B=∠C=60°
于是分別在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD=

4

sin60°

=

8 3

3

，CD=

3

sin60°

=2

3

所以BC=BD+DC=

14

3

3

．

當∠A=120°時，△ABC為等腰三角形，∠B=∠C=30°
同上方法可得BC=14． 3分

所以線段BC的長應為

14 3

3

或14．