Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，M，N兩點分別從A，B兩點以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD邊上沿逆時針方向運動，其中有一點運動到點D停止，當運動時間為秒時，△MBN為等腰三角形．

Answer 1

【答案】 或（12﹣4 ）或
【解析】解：①如圖1，點M在AB上，點N在BC上時，t＜4，BM=10﹣2t，BN=t，
∵BM=BN，
∴10﹣2t=t，
解得t= ，
②如圖2，點M在BC上，點N在CD上時，5＜t＜7，BM=2t﹣10，CM=4﹣（2t﹣10）=14﹣2t，
CN=t﹣4，
在Rt△MCN中，MN2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣10）2=（14﹣2t）2+（t﹣4）2 ，
整理得，t2﹣24t+112=0，
解得t1=12﹣4 ，t2=12+4 （舍去），
③如圖3，點M、N都在C、D上時，t＞7，若點M在點N的右邊，則CM=2t﹣14，MN=t﹣（2t﹣14）=14﹣2t，
此時BM2=（2t﹣14）2+42 ，
∵BM=MN，
∴（2t﹣14）2+42=（14﹣2t）2 ， 無解，
若點M在點N的左邊，則CN=t﹣4，
MN=（2t﹣14）﹣（t﹣4）=t﹣10，
此時BN2=（t﹣4）2+42 ，
∵BN=MN，
∴（t﹣4）2+42=（t﹣10）2 ，
整理得，t= （不符合題意，舍去），
④如圖④，點M在AB上，點N在CD上時，BM=10﹣2t，CN=t﹣4，
由等腰三角形三線合一的性質，CN= BM，
所以，t﹣4= （10﹣2t），
解得t= ，
綜上所述，當運動時間為 或（12﹣4 ）或 秒時，△MBN為等腰三角形．
所以答案是： 或（12﹣4 ）或 ．



【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的性質和矩形的性質，需要了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能得出正確答案．