Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+ 與y軸相交于點A，點B與點O關于點A對稱

（1）填空：點B的坐標是；
（2）過點B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點C，過點C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點，且PB=PC，求線段PB的長（用含k的式子表示），并判斷點P是否在拋物線上，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點C關于直線BP的對稱點C′恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）（0， ）
（2）

解：∵B點坐標為（0， ），

∴直線解析式為y=kx+ ，令y=0可得kx+ =0，解得x=﹣ ，

∴OC=﹣ ，

∵PB=PC，

∴點P只能在x軸上方，

如圖1，過B作BD⊥l于點D，設PB=PC=m，

則BD=OC=﹣ ，CD=OB= ，

∴PD=PC﹣CD=m﹣ ，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣ ）2+（﹣ ）2，解得m= + ，

∴PC= + ，

∴P點坐標為（﹣ ， + ），

當x=﹣ 時，代入拋物線解析式可得y= + ，

∴點P在拋物線上；

（3）

解：如圖2，連接CC′，

∵l∥y軸，

∴∠OBC=∠PCB，

又PB=PC，

∴∠PCB=∠PBC，

∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′關于BP對稱，且C′在拋物線的對稱軸上，即在y軸上，

∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，

在Rt△OBC中，OB= ，則BC=1

∴OC= ，即P點的橫坐標為 ，代入拋物線解析式可得y=（ ）2+ =1，

∴P點坐標為（ ，1）．

【解析】解：（1）∵拋物線y=x2+ 與y軸相交于點A，
∴A（0， ），
∵點B與點O關于點A對稱，
∴BA=OA= ，
∴OB= ，即B點坐標為（0， ），
故答案為：（0， ）；
（1）由拋物線解析式可求得A點坐標，再利用對稱可求得B點坐標；（2）可先用k表示出C點坐標，過B作BD⊥l于點D，條件可知P點在x軸上方，設P點縱坐標為y，可表示出PD、PB的長，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長，此時可得出P點坐標，代入拋物線解析式可判斷P點在拋物線上；（3）利用平行線和軸對稱的性質可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長，代入拋物線解析式可求得P點坐標．