Question

【題目】如圖1，直線y= x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B（0，﹣1），拋物線y= x2+bx+c經過點B，點C的橫坐標為4．

（1）請直接寫出拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D在拋物線上，DE∥y軸交直線AB于點E，且四邊形DFEG為矩形，設點D的橫坐標為x（0＜x＜4），矩形DFEG的周長為l，求l與x的函數關系式以及l的最大值；

（3）將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°，得到△A1O1B1 ， 點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1 ． 若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“落點”，請直接寫出“落點”的個數和旋轉180°時點A1的橫坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線l：y= x+m經過點B（0，﹣1），

∴m=﹣1，

∴直線l的解析式為y= x﹣1，

∵直線l：y= x﹣1經過點C，且點C的橫坐標為4，

∴y= ×4﹣1=2，

∵拋物線y= x2+bx+c經過點C（4，2）和點B（0，﹣1），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣1；

（2）

解：令y=0，則 x﹣1=0，

解得：x= ，

∴點A的坐標為（ ，0），

∴OA= ，

在Rt△OAB中，OB=1，

∴AB= = = ，

∵DE∥y軸，

∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DEcos∠DEF=DE = DE，

DF=DEsin∠DEF=DE = DE，

∴l=2（DF+EF）=2（ + ）DE= DE，

∵點D的橫坐標為t（0＜t＜4），

∴D（t， t2﹣ t﹣1），E（t， t﹣1），

∴DE=（ t﹣1）﹣（ t2﹣ t﹣1）=﹣ t2+2t，

∴l= ×（﹣ t2+2t）=﹣ t2+ t，

∵l=﹣ （t﹣2）2+ ，且﹣ ＜0，

∴當t=2時，l有最大值 ．

（3）

解：“落點”的個數有4個，如圖1，圖2，圖3，圖4所示．

如圖3中，設A1的橫坐標為m，則O1的橫坐標為m+ ，

∴ m2﹣ m﹣1= （m+ ）2﹣ （m+ ）﹣1，

解得：m= ，

如圖4中，設A1的橫坐標為m，則B1的橫坐標為m+ ，B1的縱坐標比例A1的縱坐標大1，

∴ m2﹣ m﹣1+1= （m+ ）2﹣ （m+ ）﹣1，

解得：m= ，

∴旋轉180°時點A1的橫坐標為 或 ．

【解析】（1）把點B的坐標代入直線解析式求出m的值，再把點C的坐標代入直線求解即可得到C點縱坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；（2）令y=0求出點A的坐標，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據矩形的周長公式表示出l，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到l與t的關系式，再利用二次函數的最值問題解答；（3）根據逆時針旋轉角為90°可得A1O1∥y軸時，B1O1∥x軸，旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時，B1A1∥AB，根據圖3、圖4兩種情形即可解決．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．