Question

【題目】 如圖，等邊△ABC中，點D是BC上任一點，以AD為邊作∠ADE=∠ADF=60°,分別交AC,AB于點E,F.

(1)求證：AD2=AEAC.

(2)已知BC=2,設BD的長為x,AF的長為y.

①求y關于x的函數表達式；

②若四邊形AFDE外接圓直徑為,求x的值

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）① ②

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，可求得∠BAC=∠ACD=∠ABC=60°，然后根據相似三角形的判定得到△ADE∽△ACD，再根據相似三角形的對應邊成比例得證；

（2）①根據BC=2，BD=x，AF=y，可得DC=2-x，然后根據相似三角形的判定得到△ACD∽△DBF，再根據相似三角形的對應邊成比例得到x、y的關系式；

②由已知可得A、F、D、E四點共圓，從而求得EF=，再進一步根據相似三角形的判定與性質，由△ABD∽△DCE得到CE的結果，進而判斷出△AEF是等邊三角形，得到AF=EF，從而求解.

（1）△ABC為等邊三角形

∴∠BAC=∠ACD=∠ABC=60°

在△ADE和△ADC中

∴△ADE∽△ACD

∴

∴AD=AC.AE

（2）①已知BC=2，BD=x，AF=y，則DC=2-x

在△ACD和△BFD中

∴△ACD∽△DBF

∴

∴

∴y= （0＜x＜2）

②由已知可得A、F、D、E四點共圓，如圖所示，

∠BAC=60°，∠FDE=120°，∠FOE=120°

⊙O的直徑為

∴EF=

在△ABD和△DCE中

∴△ABD∽△DCE

∴

∴

∴CE=-x+x，AE=2-CE=

∵y=

∴AF=AE

AEF為等邊三角形，AF=EF=

∴y==

∴