Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．

（1）如果∠BAO=45°，直接寫出點P的坐標；

（2）求證：點P在∠AOB的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(，)；（2）見解析；（3）1＜h≤

【解析】（1）當∠BAO=45°時，因為四邊形ABCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點，能證明OAPB是正方形，從而求出P點的坐標．

（2）過P點作x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．

（3）因為點P在∠AOB的平分線上，所以h＞0，從最小值到最大值時的位置進行分析．

解：（1）∵∠BPA=90°，PA=PB，

∴∠PAB=45°，

∵∠BAO=45°，

∴∠PAO=90°，

∴四邊形OAPB是正方形，

∵AB=2，由勾股定理得：PA=PB=

∴P點的坐標為：（，）．

（2）證明：作PE⊥y軸于E，PF⊥x軸于F，

∴∠PEB=∠PFA=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，AC與BD相交于P，

∴PA=PB，∠APB=90°．

∵∠AOB=90°，

∴∠PAO+∠PBO=180°．

∵∠PBE+∠PBO=180°，

∴∠PBE=∠PAO，

在△PEB和△PFA中：

∴△PEB≌和△PFA（AAS）

∴PE=PF

∴OP平分∠AOB．

即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，

點P都在∠AOB的平分線上；

（3）結合（2）設PF=h，∠APF=α．

在直角△APF中，∠AFP=90°，PA=，

∴PF=PAcosα=cosα，

又∵頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），

∴0°≤α＜45°，

∴1＜h≤．