Question

14．閱讀下列材料：
小明遇到這樣一個問題：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求△ABC的面積．
小明是這樣解決問題的：如圖①所示，先畫一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），從而借助網格就能計算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構圖法．
（1）圖1中△ABC的面積為$\frac{7}{2}$；
參考小明解決問題的方法，完成下列問題；
（2）圖2是一個6×6的正方形網格（每個小正方形的邊長為1）．
①利用構圖法在答卷的圖2中畫出三邊長分別為$\sqrt{13}$、$2\sqrt{5}$、$\sqrt{29}$的格點△DEF；
②計算△DEF的面積．
（3）如圖3，已知△PQR，以PQ，PR為邊向外作正方形PQAF，PRDE，連接EF，若PQ=$\sqrt{10}$，PR=$\sqrt{13}$，QR=3．
①試判斷△PQR與△PEF面積之間的關系，并說明理由．
②求六邊形AQRDEF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用網格表示出各部分面積，進而得出答案；
（2）利用勾股定理借助網格求出即可；
（3）六邊形AQRDEF的面積=邊長為$\sqrt{10}$的正方形面積+邊長為$\sqrt{13}$的正方形面積+△PEF的面積+△PQR的面積，其中兩個三角形的面積分別用長方形的面積減去各個小三角形的面積．

解答 解：（1）圖1中△ABC的面積為3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$；

（2）①如圖所示：

②△DEF的面積為4×5-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×5=8；

（3）①如圖3，

△PEF的面積為6×2-$\frac{1}{2}$×1×6-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×3×2=$\frac{9}{2}$，
△PQR的面積為$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴△PQR與△PEF面積相等；
②六邊形AQRDEF的面積為（$\sqrt{13}$）²+$\frac{9}{2}$+$\frac{9}{2}$+（$\sqrt{10}$）²=13+9+10=32．

點評 此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，關鍵是結合網格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．