Question

【題目】已知：如圖1，菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°，點E是AB的中點，連接AC、EC．點Q從點A出發，沿折線A—D—C運動，同時點P從點A出發，沿射線AB運動，P、Q的速度均為每秒1個單位長度；以PQ為邊在PQ的左側作等邊△PQF，△PQF與△AEC重疊部分的面積為S，當點Q運動到點C時P、Q同時停止運動，設運動的時間為t．

（1）當等邊△PQF的邊PQ恰好經過點D時，求運動時間t的值；當等邊△PQF的邊QF恰好經過點E時，求運動時間t的值；

（2）在整個運動過程中，請求出S與t之間的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，當點Q到達C點時，將等邊△PQF繞點P旋轉α ° (0<α<360°)，直線PF 分別與直線AC、直線CD交于點M、N．是否存在這樣的α ，使△CMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出此時線段CM的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）根據題意求出運動的距離，再除以速度即可求出時間；

（2）分當0＜t≤3時，當3＜t≤6時，當6＜t≤9時，當9＜t≤12時，四種情況，分別求出重疊部分面積即可；

（3）分交點都在BC左側，頂角為120°，交點都在BC右側時，頂角可能為30°和120°；交點在BC兩側時，頂角為150°進行討論求解即可.

解：（1）當等邊△PQF的邊PQ恰好經過點D時，

如圖1,

AQ=AD=6，

∴t=6÷1=6（秒）；

當等邊△PQF的邊QF恰好經過點E時，

如圖2,

由菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°，P、Q的速度均為每秒1個單位長度，

知：∠APQ=60°，∠QEB=60°，

∴QE∥AD，

∵點E是AB的中點，

∴此時點Q是CD的中點，

可求：AD+DQ=6+3=9，

所以t=9÷1=9（秒）；

（2）如圖3,

當0＜t≤3時，

由菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°，

可求：∠PAG=30°，

∵∠APQ=60°，

∴∠AGP=90°，

由AP=t，可求：PG=t，AG=t，

∴S=PG×AG=t2；

當3＜t≤6時，

如圖4,

,

AE=3，AP=t，

∴PE=t-3，

過點C作AB的垂線，垂足為H，

由菱形ABCD的邊長為6，∠DAB=60°，

可求：CH=3，BH=3，EH=6，

tan∠KEB=，

過點K作KM⊥AB，作CN∥PK交AB的延長線于N，

∵△EKP∽△ECN，可得

=，

可求KM=，

∴S△PEK=，

可求∠QAG=30°，

又∠AQG=60°，AQ=t，

可求∠AGQ=90°，

DG=t，GQ=t，

∴S△AGQ=t2，

等邊三角形APD的面積為：，

∴S=-t2-=+t，

當6＜t≤9時，

如圖5，

，

與前同理可求：S△FQP=9，

S△GQN=，

S△KEP=，

∴S=9--=t2+4t，

當9＜t≤12時，

如圖6，

求出：S△PQF=9，

S△QGH=，

S△NEP=，

S△KEF=，

∴S=S△PQF-S△QGH-S△NEP+S△KEF=9-- +=t25t+30；

（3）逆時針旋轉：

①α=150°，如圖7，

此時，易求∠CNM=∠NCM=∠APM=∠MAP=∠DAP=30°，

可證△ACD∽△APM，

∴＝，

易求AP=12，AC=6，AD=6，

解得：AM=4，

所以，CM=2；

②α=105°，如圖8,

此時，易求CM=CN，∠CMN=∠CNM=∠APM=75°，

∴AM=AP=12，

在菱形ABCD中，AD=CD=6，∠D=120°，

可求AC=6，

所以，CM=12=6；

③α=60°，如圖9,

此時，易求∠CMN=∠MCN=∠ACB=30°，

∴BC∥PM，

由AB=BP=6可得，CM=AC=6,

所以：CM=6；

④α=15°，如圖10,

此時，易求∠APM=∠M=15°，

∴AM=AP=12，

所以：CM=AM+AC，

CM=12+6．