Question

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過點A和點C，對稱軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個交點為B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點P的坐標；
（3）點M在此拋物線上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）P點坐標為（﹣1，2）；
（3）M點坐標為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．

解析試題分析：（1）根據拋物線的交點式可求此拋物線的解析式；
（2）直線BC與對稱軸直線l：x=﹣1的交點即為所求使△PAC的周長最小的點P的坐標；
（3）討論：當以AB為對角線，利用NA=MB和四邊形ANBM為平行四邊形，則可確定M的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標；當以AB為邊時，根據平行四邊形的性質得到MN=AB=4，則可確定M的橫坐標，然后代入拋物線解析式得到M點的縱坐標．
試題解析：（1）直線y=﹣3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，
當y=0時，﹣3x+3=0，解得x=1，
則A點坐標為（1，0）；
當x=0時，y=3，
則C點坐標為（0，3）；
拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，
則B點坐標為（﹣3，0）；
把C（0，3）代入y=a（x﹣1）（x+3）得3=﹣3a，
解得a=﹣1，
則此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x²﹣2x+3；
（2）連接BC，交對稱軸于點P，如圖1，

設直線BC的關系式為：y=mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得，
解得，
∴直線bC的關系式為y=x+3，
當x=﹣1時，y=﹣1+3=2，
∴P點坐標為（﹣1，2）；
（3）當以AB為對角線，如圖2，

∵四邊形AMBN為平行四邊形，
A點橫坐標為1，N點橫坐標為0，B點橫坐標為﹣3，
∴M點橫坐標為﹣2，
∴M點縱坐標為y=﹣4+4+3=3，
∴M點坐標為（﹣2，3）；
當以AB為邊時，如圖3，

∵四邊形ABMN為平行四邊形，
∴MN=AB=4，即M₁N=4，M₂N=4，
∴F₁的橫坐標為﹣4，F₂的橫坐標為4，
對于y=﹣x²﹣2x+3，
當x=﹣4時，y=﹣16+8+3=﹣5；
當x=4時，y=﹣16﹣8+3=﹣21，
∴M點坐標為（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
綜上所述，M點坐標為（﹣2，3）或（﹣4，﹣5）或（4，﹣21）．
考點：二次函數綜合題．