Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的對稱軸為y軸，且經過（0，0）和（，）兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經過定點A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；
（3）設⊙P與x軸相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，當△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．

Answer 1

（1）a=，b=c=0；（2）證明見解析；（3）P的縱坐標為0或4+2或4﹣2．

解析試題分析：（1）根據題意得出二次函數一般形式進而將已知點代入求出a，b，c的值即可；
（2）設P（x，y），表示出⊙P的半徑r，進而與x²比較得出答案即可；
（3）分別表示出AM，AN的長，進而分別利用當AM=AN時，當AM=MN時，當AN=MN時，求出a的值，進而得出圓心P的縱坐標即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的對稱軸為y軸，且經過（0，0）和（，）兩點，
∴拋物線的一般式為：y=ax²，
∴=a（）²，
解得：a=±，
∵圖象開口向上，∴a=，
∴拋物線解析式為：y=x²，
故a=，b=c=0；
（2）設P（x，y），⊙P的半徑r=，
又∵y=x²，則r=，
化簡得：r=＞x²，
∴點P在運動過程中，⊙P始終與x軸相交；
（3）設P（a，a²），∵PA=，
作PH⊥MN于H，則PM=PN=，
又∵PH=a²，
則MH=NH==2，
故MN=4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），∴AM=，AN=，
當AM=AN時，=，
解得：a=0，
當AM=MN時，=4，
解得：a=2±2（負數舍去），則a²=4+2；
當AN=MN時，=4，
解得：a=﹣2±2（負數舍去），則a²=4﹣2；
綜上所述，P的縱坐標為0或4+2或4﹣2．

考點：二次函數綜合題．