Question

【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）證明4c=3b2
（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1，試求二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：依題意，m，-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=m+（-3m）=-b，x1x2=m（-3m）=-c，

∴b=2m，c=3m2，

∴4c=3b2=12m2；

（2）

解：依題意， =1，即b=-2，由（1）得c= = ×(-2)2=3，

∴y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

∴二次函數(shù)的最小值為2．

【解析】（1）由根與系數(shù)關(guān)系得出等式，消去m，得出b、c的關(guān)系式；（2）根據(jù)對稱軸公式可求系數(shù)b，代入（1）的結(jié)論可求c，可確定二次函數(shù)解析式，再求函數(shù)的最小值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．