Question

如圖①，已知等腰梯形ABCD的周長為48，面積為S，AB∥CD，∠ADC=60°，設AB=3x．
（1）用x表示AD和CD；
（2）用x表示S，并求S的最大值；
（3）如圖②，當S取最大值時，等腰梯形ABCD的四個頂點都在⊙O上，點E和點F分別是AB和CD的中點，求⊙O的半徑R的值．

Answer 1

（1）AD=18-2x，CD=16+x；（2）S=-2（x-2）²+72，當x=2時，S有最大值72；（3）R=2．

試題分析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，易得四邊形AHGB為矩形，則HG=AB=3x，再根據等腰梯形的性質得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，設DH=t，根據含30度的直角三角形三邊的關系得AD=2t，AH=t，然后根據等腰梯形ABCD的周長為48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，于是可得AD=18-2x，CD=16+x；
（2）根據梯形的面積公式計算可得到S=-2x²+8x+64，再進行配方得S=-2（x-2）²+72，然后根據二次函數的最值問題求解；
（3）連結OA、OD，如圖②，由（2）得到x=2時，則AB=6，CD=18，等腰梯形的高為6，所以AE=3，DF=9，由于點E和點F分別是AB和CD的中點，根據等腰梯形的性質得直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，所以EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，根據垂徑定理的推論得等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，設OE=a，則OF=6-a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a²+3²=R²，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6-a）²+9²=R²，然后消去R得到a的方程a²+3²=（6-a）²+9²，解得a=5，最后利用R²=（5）²+3²求解．
試題解析：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如圖①，

則四邊形AHGB為矩形，
∴HG=AB=3x，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AD=BC，DH=CG，
在Rt△ADH中，設DH=t，
∵∠ADC=60°，
∴∠DAH=30°，
∴AD=2t，AH=t，
∴BC=2t，CG=t，
∵等腰梯形ABCD的周長為48，
∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8-x，
∴AD=2（8-x）=18-2x，
CD=8-x+3x+8-x=16+x；
（2）S=（AB+CD）•AH
=（3x+16+x）•（8-x）
=-2x²+8x+64，
∵S=-2（x-2）²+72，
∴當x=2時，S有最大值72；
（3）連結OA、OD，如圖②，

當x=2時，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高為×（8-2）=6，
則AE=3，DF=9，
∵點E和點F分別是AB和CD的中點，
∴直線EF為等腰梯形ABCD的對稱軸，
∴EF垂直平分AB和CD，EF為等腰梯形ABCD的高，即EF=6，
∴等腰梯形ABCD的外接圓的圓心O在EF上，
設OE=a，則OF=6-a，
在Rt△AOE中，
∵OE²+AE²=OA²，
∴a²+3²=R²，
在Rt△ODF中，
∵OF²+DF²=OD²，
∴（6-a）²+9²=R²，
∴a²+3²=（6-a）²+9²，解得a=5，
∴R²=（5）²+3²=84，
∴R=2．
【考點】圓的綜合題．