Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為y軸上的一個動點，當△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標；
（3）將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到另一個三角形，將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S，用m的代數式表示S．

Answer 1

（1）y=﹣x²+2x+3
（2）（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）
（3）當0＜m≤時，S=﹣m²+3m；當＜m＜3時，S=m²﹣3m+．

試題分析：（1）根據對稱軸x=1、與x軸的一個交點為A（3，0）、與y軸的交點為B（0，3）可得關于a、b、c的方程組，解出即可
（2）分①MA=M；②AB=AM；③AB=BM三種情況討論可得點M的坐標．
（3）記平移后的三角形為△PEF．由待定系數法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3．易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．根據待定系數法可得直線AC的解析式．連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．在△AOB沿x軸向右平移的過程中．分二種情況：①當0＜m≤時；②當＜m＜3時；討論可得用m的代數式表示S．
試題解析：（1）由題意可知，，解得，經檢驗均為方程組的解，
故拋物線的解析式為y=﹣x²+2x+3．
（2）①當MA=MB時，M（0，0）；
②當AB=AM時，M（0，﹣3）；
③當AB=BM時，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．
所以點M的坐標為：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．
（3）平移后的三角形記為△PEF．
設直線AB的解析式為y=kx+b，則
，
解得．
則直線AB的解析式為y=﹣x+3．
△AOB沿x軸向右平移m個單位長度（0＜m＜3）得到△PEF，
易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m．
設直線AC的解析式為y=k′x+b′，則
，
解得．
則直線AC的解析式為y=﹣2x+6．
連結BE，直線BE交AC于G，則G（，3）．
在△AOB沿x軸向右平移的過程中．
①當0＜m≤時，如圖1所示．

設PE交AB于K，EF交AC于M．
則BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，
聯立，
解得，
即點M（3﹣m，2m）．
故S=S_△PEF﹣S_△PAK﹣S_△AFM
=PE²﹣PK²﹣AF•h
=﹣（3﹣m）²﹣m•2m
=﹣m²+3m．
②當＜m＜3時，如圖2所示．

設PE交AB于K，交AC于H．
因為BE=m，所以PK=PA=3﹣m，
又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6，
所以當x=m時，得y=6﹣2m，
所以點H（m，6﹣2m）．
故S=S_△PAH﹣S_△PAK
=PA•PH﹣PA²
=﹣（3﹣m）•（6﹣2m）﹣（3﹣m）²
=m²﹣3m+．
綜上所述，當0＜m≤時，S=﹣m²+3m；當＜m＜3時，S=m²﹣3m+．