Question

如圖，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，連BD分別交AE、AF于點M、N，若EG=4，GF=6，BM=3

2

，則MN的長為______．

Answer 1

如圖，連接GM，GN，
∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE，
同理可證△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
設(shè)正方形的邊長為a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE²+CF²=EF²，即（a-4）²+（a-6）²=10²，
解得a=12或-2（舍去負(fù)值），
∴BD=12

2

，
易證△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3

2

，NG=ND=12

2

-3

2

-MN=9

2

-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG²+NG²=MN²，
即（3

2

）²+（9

2

-MN）²=MN²，
解得MN=5

2

．
故答案為：5

2

．