Question

【題目】如圖，在直角坐標系中有，為坐標原點，，將此三角形繞原點順時針旋轉，得到，二次函數的圖象剛好經過三點．

（1）求二次函數的解析式及頂點的坐標；

（2）過定點的直線與二次函數圖象相交于兩點．

①若，求的值；

②證明：無論為何值，恒為直角三角形；

③當直線繞著定點旋轉時，外接圓圓心在一條拋物線上運動，直接寫出該拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）,;（2）①；②見解析；③．

【解析】

（1）求出點A、B、C的坐標分別為（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；

（2）①S△PMN=PQ×（x2-x1），則x2-x1=4，即可求解；②k1k2==-1，即可求解；③取MN的中點H，則點H是△PMN外接圓圓心，即可求解．

（1），則，

即點的坐標分別為、、，

則二次函數表達式為：，

即：，解得：，

故函數表達式為：，

點；

（2）將二次函數與直線的表達式聯立并整理得：

，

設點的坐標為、，

則，

則：，

同理：，

①，當時，，即點，

，則，

，

解得：；

②點的坐標為、、點，

則直線表達式中的值為：，直線表達式中的值為：，

為： ，

故，

即：恒為直角三角形；

③取的中點，則點是外接圓圓心，

設點坐標為，

則，

，

整理得：，

即：該拋物線的表達式為：．