Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC切⊙O于點C，AB交⊙O于點D，BC的中點為 E，連接DE．

（1）求證：BE DE；

（2）連接EO交⊙O于點 F．填空：

①當∠B __________時，以 D，E，C，O為頂點的四邊形是正方形；

②當∠B __________時，以 A，D，F，O為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）由題意根據直角三角形斜邊中線的性質即可證明；

（2）①如圖2-1中，當∠B=45°時，以D，E，C，O為頂點的四邊形是正方形；

②如圖2-2中，結論：∠B=45°；利用①結論證明DE=OA，DE∥OA即可.

（1）證明：連接CD，OD，OE．

∵AC是直徑，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∵BE=EC，

∴DE=CE=BE，

∴BE=DE．

（2）①如圖2-1中，當∠B=45°時，以D，E，C，O為頂點的四邊形是正方形；

理由：∵BC是⊙O的切線，

∴AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∵OD=OC，OE=OE，DE=CE，

∴△EOD≌△EOC（SSS），

∴∠EDO=∠ECO=90°，

∵EB=ED，

∴∠B=∠EDB=45°，

∴∠DEC=∠B+∠EDB=90°，

∴四邊形DECO是矩形，

∵OD=OC，

∴四邊形DECO是正方形．

故答案為：45°．

②如圖2-2中，結論：∠B=45°．

當∠B=45°時，由①可知四邊形DECO是正方形．

∴DE∥OC，DE=OC，

∵OC=OA，

∴DE=OA，DE∥OA，

∴四邊形ADEO是平行四邊形．

故答案為：45°．