Question

【題目】（2013年四川資陽11分）在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC，CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，當點M與點C重合，求證：DF=MN；

（2）如圖2，假設點M從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發，以cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；

①判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．

②連結FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關系；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN。

在△ADF與△DNC中，∵，

∴△ADF≌△DNC（ASA）。∴DF=MN。

（2）①該命題是真命題。理由如下：

當點F是邊AB中點時，則AF=AB=CD。

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴。∴AE=EC，則AE=AC=a。∴。

∴CM=1t=a=CD。

∴點M為邊CD的三等分點

②能。理由如下：

易證AFE∽△CDE，∴，即，得。

易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t。

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t。

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

（I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=DM，即=t，得t=0，不合題意。∴此種情形不存在。

（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此時點F與點B重合。

（III）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如圖所示，

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t。

又由△NDM∽△DCF，∴，即

∴。

∴=a﹣t。

∴t=a，此時點F與點C重合。

綜上所述，當t=a或t=a時，△MNF能夠成為等腰三角形。

【解析】（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN。

（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=a，進而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題。

②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論。