Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB向點B勻速運動；同時，動點N從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動．過線段MN的中點G作邊AB的垂線，垂足為點G，交△ABC的另一邊于點P，連接PM、PN，當點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動，設運動時間為t秒．

（1）當t＝ 秒時，動點M、N相遇；

（2）設△PMN的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（3）取線段PM的中點K，連接KA、KC，在整個運動過程中，△KAC的面積是否變化？若變化，直接寫出它的最大值和最小值；若不變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=；（3）在整個運動過程中，△KAC的面積會發生變化，最小值為，最大值為4．

【解析】

試題分析：（1）由∠ACB＝900，AC=6，BC=8，得到AB=10，當M、N相遇時，AM+BN=AB=10，即，解得；

（2）由于N比M運動的速度快，故P先在BC上運動，然后在CA上運動．先算出當P與C重合時，所用的時間，由于相遇的時間，停止的時間，故分三種情況討論，

①當時，M在N的左邊，P先在BC上向C靠近；②當時，M在N的左邊，在AC上逐漸遠離C；③當時，M在N的右邊，在AC上逐漸遠離C．由于S==MNPG，MN=10－4t，只需要表示出三種情況中的PG即可，用三角函數計算比較簡單；

（3）分兩種情況討論，①當P在BC上運動時，如圖4，當P與C重合時，最小，當t=0是，M與A重合，N與B重合，如圖5，此時三角形最大；②當P在CA上運動時，如圖6，過K作KE⊥AC于E，過M作MF⊥AC于F，可以得到=，而，故當時，的最小值=，當時，的最大值=．綜合①②可得到結論．

試題解析：（1）∵∠ACB＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，當M、N相遇時，有，∴；

（2）∵N比M運動的速度快，∴P先在BC上運動，然后在CA上運動．當P與C重合時，∵=ACBC=ABGC，∴GC=6×8÷10=4.8，∴AG==3.6，∴BG=10－3.6=6.4，∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=MN==，∴，∴．

①當時，M在N的左邊，P先在BC上向C靠近，如圖1，

∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=MN==，∴GB=GN+NB==，∵tanB=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

②當時，M在N的左邊，在AC上逐漸遠離C，如圖2，

由①可知，GN=MG=，AM=t，∴AG=MG+AM=，tanA=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

③當時，M在N的右邊，在AC上逐漸遠離C，如圖3．

MN=NB+AM－AB==，GN=MG=，AM=t，∴AG= AM－MG ==，tanA=，∴，∴PG=，∴S==MNPG= GNPG==；

∴S=；

（3）①當P在BC上運動時，如圖4，當P與C重合時，最小，過M作MF⊥AC于F，則MF∥BC，∴，，∴，∴MF=1.12，∴==ACMF==，當t=0是，M與A重合，N與B重合，此時三角形最大，如圖5，此時BG=AG=5，cosB=，∴，∴PB=，∴PC=BC－PB=8－=，∴=ACPC==，∵K是AP 的中點，∴==，∴當P在BC上運動時，△KAC面積的最小值為，最大值為；

②當P在CA上運動時，如圖6，過K作KE⊥AC于E，過M作MF⊥AC于F，∴EK∥FM，∵K為PM的中點，∴EK=FM，∵FM⊥AC，CB⊥AC，∴FM∥CB，∴，∴，∴FM=，∴EK=FM=，∴=ACEK==，∵，∴當時，的最小值=，當時，的最大值=．∴當P在CA上運動時，△KAC面積的最小值為，最大值為4．

綜合①②可得：在整個運動過程中，△KAC的面積會發生變化，最小值為，最大值為4．