Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過、兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．

求該拋物線的解析式及點C、D的坐標；

經過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；

如圖是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求的最大面積和此時Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當時，的最大面積為，

此時．

【解析】

（1）首先將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數的值．再通過配方、令函數值為0可求出頂點D以及點C的坐標．
（2）由圖可知：若以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，令EF∥AB顯然不符合要求，那么只需考慮BF∥AE即可，那么還需滿足BF=AE；首先求出直線BD的解析式，進而得出點E的坐標以及AE、BF的長，由此可確定點F的坐標，再代入拋物線的解析式中驗證即可．
（3）分別過點P、Q作x軸的垂線，那么△APQ的面積可由五邊形和△APS（以解答圖為準）的面積差求得，在得到關于△APQ的面積和Q點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可確定該題的答案．

解：拋物線經過、兩點，有：

，

解得

拋物線的解析式為：

由，

解得：，

由

．

四邊形AEBF是平行四邊形，

設直線BD的解析式為：，則

，

，

解得

直線BD的解析式為：；

當時，

，，

，，

，

的橫坐標為2，

，

．

如圖，設，作軸，軸于點S、R，且，

，，，，

當時，的最大面積為，

此時．