Question

【題目】24.在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2．

【解析】試題分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可；

（2）求出∠ABE=30°，根據直角三角形性質求出AE、BE，即可求出答案．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，

∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）∵四邊形BFDE為菱形，

∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE=30°，

∵∠A=90°，AB=2，

∴AE=，BE=2AE=，

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．