Question

19．已知兩個不等實數a、b分別滿足a²+3a=1，b²+3b=1，則（a²+5a+1）•（b²+5b+1）的值為-12．

Answer 1

分析 先由已知條件得到a²=1-3a，b²=1-3b，把它們代入（a²+5a+1）•（b²+5b+1）中整理得到原式=4（ab+a+b+1），由于a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，于是a、b可看作方程x²+3x-1=0的兩根，根據根與系數的關系得到a+b=-3，ab=-1，然后利用整體代入的方法計算原式的值．

解答 解：∵a²+3a=1，b²+3b=1，
∴a²=1-3a，b²=1-3b，
∴（a²+5a+1）•（b²+5b+1）=（1-3a+5a+1）（1-3b+5b+1）=（2a+2）（2b+2）=4（ab+a+b+1），
∵a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，
∴a、b可看作方程x²+3x-1=0的兩根，
∴a+b=-3，ab=-1，
∴（a²+5a+1）•（b²+5b+1）=4（-1-3+1）=-12．
故答案為-12．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．