Question

【題目】（方法回顧）

課本研究三角形中位線性質的方法

已知：如圖①， 已知中，，分別是，兩邊中點．

求證：，

證明：延長至點，使， 連按．可證：（　　）

由此得到四邊形為平行四邊形， 進而得到求證結論

（1）請根據以上證明過程，解答下列兩個問題：

①在圖①中作出證明中所描述的輔助線（請用鉛筆作輔助線）；

②在證明的括號中填寫理由（請在，，，中選擇） .

（問題拓展）

（2）如圖②，在等邊中， 點是射線上一動點（點在點的右側），把線段繞點逆時針旋轉得到線段，點是線段的中點，連接、．

①請你判斷線段與的數量關系，并給出證明；

②若，求線段長度的最小值．

Answer 1

【答案】【方法回顧】（1）①在圖①中作出證明中所描述的輔助線，見解析；②；（2）①，證明見解析；②線段長度的最小值為．

【解析】

（1）①根據題意畫出輔助線即可；

②由題可知判斷全等的條件是；

（2）①延長至點，使得，連接，，證明，得到，由繞點逆時針旋轉得到線段，可得到為等邊三角形，可推出為等邊三角形，得到；

②連接，取的中點，連接作射線，由為等腰三角形，，得到，由點為的中點，點為的中點，得到，當時，最短，在中，，．

（1）①在圖①中作出證明中所描述的輔助線如圖所示：

②．

（2）①，

延長至點，使得，

連接，，

點為的中點，

，

，，

，

，，

，

繞點逆時針旋轉得到線段，

，，

，

為等邊三角形，

， ，

，

，

，

，

，，

，

為等邊三角形，

；

②連接，取的中點，連接作射線，

為等腰三角形，，

，

點為的中點，點為的中點，

，

，

點的軌跡為射線，且，

當時，最短，

，

，

在中，

，

，

即線段長度的最小值為．