Question

【題目】(2016廣東省梅州市第20題)

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、

【解析】

試題分析：(1)、連接OC，根據等腰三角形的性質得出∠CAD=∠D=30°，根據OA=OC得出∠2=∠CAD =30°，從而得出∠OCD=∠ACD —∠ACO=90°；(2)、首先求出扇形BOC的面積，根據Rt△OCD的三角函數得出CD的長度，從而求出Rt△OCD的面積，然后求出陰影部分的面積.

試題解析：(1)、連接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°， ∴∠CAD=∠D=30°．

∵OA=OC， ∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ）

∴∠OCD=∠ACD —∠ACO=90°，即OC⊥CD． ∴CD是⊙O的切線．

(2)、由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO=∠CAD=30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°）

∴． 在Rt△OCD中，∵， ∴．

∴ ∴圖中陰影部分的面積為