Question

【題目】在△ABC中，∠A=60°，∠C=75°，AB=8，D、E、F分別在AB、BC、CA上，則△DEF的周長最小值是____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

分別作點E關于AB，AC的對稱點P，Q，連結AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，根據兩點之間線段最短以及垂線段最短，即可得出△DEF周長的最小值．

解：分別作點E關于AB，AC的對稱點P，Q，連結AE，AP，AQ，DP，FQ，PQ，

則DE=PD，EF=FQ，∠PAQ=2∠BAC=120°，且AP=AE=AQ，

∴∠APQ=30°，∴PQ＝AP．
過點A作AH⊥BC于點H，又∠B=180°-∠BAC-∠C=45°，

∴AH＝ABsinB＝8×sin45°＝4，
△DEF的周長＝DE+DF+EF＝PD+DF+FQ≥PQ＝AP＝AE≥AH＝4．

∴△DEF周長的最小值為4．
故答案為：4．