Question

【題目】如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）繞其直角頂點C順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉過程中，△BDE為直角三角形．設BC＝1，AD＝x，△BDE的面積為S．

（1）當α＝30°時，求x的值．

（2）求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S＝時，判斷⊙E與A′C的位置關系，并求相應的tanα值．

Answer 1

【答案】(1)x=1;(2)S= ;(3)

【解析】

(1)根據等腰三角形的判定, ∠A＝∠a＝30°，得出 x＝1.(2)由直角三角形的性質,AB=2,AC=,由旋轉性質求得△ADC∽△BEC,根據比例關系式,求出S與x的函數關系式.(3)當s＝s△ABC時,求得x的值,判斷⊙E和DE的長度大小,確定⊙E與A′C的位置關系,再求tanα值.

解：（1）∵∠A＝∠a＝30°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠BCD＝60°．

∴AD＝BD＝BC＝1．

∴x＝1；

（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠A＝∠CBE＝30°．

∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．

由旋轉性質可知：AC＝A′C，BC＝B′C，

∠ACD＝∠BCE，

∴△ADC∽△BEC，

∴＝，

∴BE＝x．

∵BD＝2﹣x，

∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s＝s△ABC

∴﹣+＝，

∴4x2﹣8x+3＝0，

∴，．

①當x＝時，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．

∴DE＝＝．

∵DE∥A′B′，

∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．

∴EC＝DE＝＞BE，

∴此時⊙E與A′C相離．

過D作DF⊥AC于F，則，．

∴．

∴． （12分）

②當時，，．

∴，

∴，

∴此時⊙E與A'C相交．

同理可求出．