Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2 ，AD=2，點P是對角線BD上一動點（不與B，D重合），連接AP，過點P作PE⊥AP，交DC于點E，

（1）求證：∠PAD=∠PEC；

（2）當點P是BD的中點時，求DE的值；

（3）在點P運動過程中，當DE= 時，求BP的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）

【解析】

（1）利用四邊形的內角和和三角形外角的性質得∠DEP+∠DAP=180°，∠DEP+∠PEC=180°，再利用同角的補角相等可得結論；

（2）連接AC，交BD于P．先利用特殊角的三角函數值求出∠ADB=60°，再利用對角線的性質可得PA=PD，故△ADP為等邊三角形，則AP=AD=2；然后易證Rt△ADE≌Rt△APE，可得∠DAE=∠PAE=30°，進而在Rt△ADE中利用tan∠DAE的正切求解即可；

(3)作PG⊥AB于G，GP的延長線交DC于H，得四邊形ADGH是矩形，PG⊥DC，則GH＝BC＝2；設PG＝a，則PH＝GH﹣PH＝2﹣a，在Rt△BGP中利用tan∠PBG表示出BG和AG；然后易證△AGP∽△PHE，利用相似三角形的對應邊成比例列出關于a比例方程并求解，即可利用BP=2PG=2a計算即可．

解：（1）證明：∵PE⊥AP，

∴∠APE=90°,

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

在四邊形ADEP中∠ADE+∠DEP+∠APE+∠DAP=360°，

∴∠DEP+∠DAP=360°-90°-90°=180°，

又∵∠DEP+∠PEC=180°，

∴∠PAD=∠PEC；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=，AD=2，

∴，

∴∠BDA=60°，

連接AC，

∵點P是BD的中點，

∴點P為AC與BD的交點，

∴△ADP為等邊三角形，

∴AP=AD=2，

在Rt△ADE和Rt△APE中，

∴Rt△ADE≌Rt△APE（HL），

∴∠DAE=∠PAE=30°，

∴，

∴ ；

（3）解：如圖，過點P作PG⊥AB于G，GP的延長線交DC于H，四邊形ABCD是矩形，

∴PG⊥DC，

∴GH＝BC＝2，

設PG＝a，則PH＝GH﹣PH＝2﹣a，

在Rt△BGP中，tan∠PBG＝，

∴BG＝PG＝a，

∴AG＝AB-BG＝2-a＝（2-a），

EH=DH-DE=2-a-=-a，

∵PG⊥DC，

∴∠APG+∠EPH＝90°，

∵∠APG+∠PAG＝90°，

∴∠EPH＝∠PAG，

∵∠AGP＝∠PHE＝90°，

∴△AGP∽△PHE，

∴，

∴，

∴

∴BP=2PG=．