Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥BD交AB于點E，設⊙O是△BDE的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）探究線段BC，BD，BO之間的數量關系，并證明；

（3）若DC=2，BC=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD2=2BOBC，理由見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，由半徑相等得到∠OBD=∠ODB，再由BD為角平分線，得到∠OBD=∠CBD，從而證得∠ODB =∠CBD，OD∥BC，得到∠ODC=90°，即可得證；

（2）BD2=2BOBC，理由為：由三角形EBD與三角形DBC相似，得比例式，將BE換為2BO即可得證；

（3）在直角三角形DBC中，利用勾股定理求出BD的長，根據（2）的關系式求出BO的長，即為OD的長，由OD與BC都與AC垂直，得到OD與BC平行，由平行得比例，即可求出AD的長．

（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵BD為角平分線，

∴∠OBD=∠CBD，

∴∠ODB =∠CBD，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

則AC為圓O的切線；

（2）BD2=2BOBC，

理由為：

∵∠C=∠BDE=90°，∠ABD=∠DBC，

∴△EBD∽△DBC，

∴=，即DB2=EBBC，

∵EB=2BO，

∴BD2=2BOBC；

（3）在Rt△BDC中，BC=4，DC=2，

根據勾股定理得：BD==2，

∴由BD2=2BOBC，得BO=OD==，

∵OD∥BC，

∴=，即=，

解得：AD=．