Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．求：

（1）∠DAC的度數；

（2）四邊形ABCD的面積（結果保留根號）；

（3）將△ABC沿AC翻折至△AB′C，如圖所示，連接B′D，求△AB′D的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠DAC=90°；（2）；（3）．

【解析】

（1）由于AB=BC=1，且∠B=90°根據勾股定理即可求出AC的長度，而CD=，DA=1，利用勾股定理的逆定理即可證明△ACD是直角三角形，由此即可求出∠DAC的度數；
（2）首先把求四邊形ABCD的面積分割為求△ABC和△ACD的面積，然后利用三角形的面積公式可以分別求出這兩個三角形的面積，最后就可以求出四邊形ABCD的面積；

（3）作出△AB′D的邊AB′邊上的高DE，證明△ADE為等腰直角三角形，從而利用勾股定理可求出DE的長，進一步可得出△AB′D的面積．

解：（1）∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝＝．

又∵CD＝，DA＝1，

∴AC2＋DA2＝CD2．

∴△ADC為直角三角形，∠DAC＝90°．

（2）∵S△ABC＝AB·BC＝，

S△ADC＝AD·AC＝，

∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝．

（3）過點D作DE⊥AB′，垂足為E，

由（1）知∠DAC＝90°．

根據折疊可知∠B′AC＝∠BAC＝45°，AB＝AB′＝1，S△AB′C＝S△ABC＝．

∴∠DAE＝∠DAC－∠B′AC＝45°，∴∠DAE=∠AED=45°，

∴AE＝DE．

在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，

∴2DE2＝1．∴DE＝．

∴S△ADB′＝×AB′×DE=×1×＝．