Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC.

（1）求點A、B、D的坐標；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點D、O、C、B能否在同一個圓上，若能，求出a的值，若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值為.（3）當a=時，D、O、C、B四點共圓.

【解析】（1）根據二次函數的圖象與x軸相交，則y=0，得出A（a，0），B（3，0），與y軸相交，則x=0，得出D（0，3a）.

（2）根據（1）中A、B、D的坐標，得出拋物線對稱軸x=，AO=a，OD=3a，代入求得頂點C（，-），從而得PB=3- =，PC=；再分情況討論：①當△AOD∽△BPC時，根據相似三角形性質得，解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，根據相似三角形性質得 ，解得：a1=3（舍），a2=；

（3）能；連接BD，取BD中點M，根據已知得D、B、O在以BD為直徑，M（，a）為圓心的圓上，若點C也在此圓上，則MC=MB，根據兩點間的距離公式得一個關于a的方程，解之即可得出答案.

（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），

∴A（a，0），B（3，0），

當x=0時，y=3a，

∴D（0，3a）；

（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴對稱軸x=，AO=a，OD=3a，

當x= 時，y=- ，

∴C（，-），

∴PB=3-=，PC=，

①當△AOD∽△BPC時，

∴，

即 ，

解得：a= 3（舍去）；

②△AOD∽△CPB，

∴，

即 ，

解得：a1=3（舍），a2= .

綜上所述：a的值為；

（3）能；連接BD，取BD中點M，

∵D、B、O三點共圓，且BD為直徑，圓心為M（，a），

若點C也在此圓上，

∴MC=MB，

∴ ，

化簡得：a4-14a2+45=0，

∴（a2-5）（a2-9）=0，

∴a2=5或a2=9，

∴a1=，a2=-，a3=3（舍），a4=-3（舍），

∵0<a<3，

∴a=，

∴當a=時，D、O、C、B四點共圓.