Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE＝DF．

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的邊長和面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），菱形AECF的面積＝12．

【解析】

（1）根據正方形的性質和線段的加減可得OE＝OF，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形AECF是平行四邊形，再根據菱形的判定解答即可；
（2）根據正方形和菱形的性質以及勾股定理即可求得邊長AE、對角線EF，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半解答即可．

（1）∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD．

∵BE＝DF，

∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵AC⊥EF，

∴四邊形AECF是菱形．

（2）∵AC＝4，

∴OA＝2，

∴OB＝2，

∴OE＝OB+BE＝3，

∴AE＝，

∴EF＝AC+DF+BE＝4+2＝6，

∴菱形AECF的面積＝ACEF＝×4×6＝12．

故菱形AECF的邊長為，面積為12．