Question

已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．
（1）求證：無(wú)論k為何值，關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是直角三角形；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）若要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只需證明△＞0．
（2）利用求根公式得到x₁=k+2，x₂=k+1，設(shè)AB=k+2，AC=k+1，再利用勾股定理的逆定理分類討論：AB²+AC²=BC²或AB²+BC²=AC²或AC²+BC²=AB²，分別建立關(guān)于k的方程，解出k的值，然后滿足兩根為正根的k的值為所求．．
（3）此題要分兩種情況進(jìn)行討論，若AB=BC=5時(shí)，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC時(shí)，則△=0，列出關(guān)于k的方程，解出k的值即可．

解答：解：（1）因?yàn)椤?b²-4ac=[-（2k+3）]²-4×1×（k²+3k+2）=1＞0，
所以方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解為x=

2k+3±1

2

，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
設(shè)AB=k+2，AC=k+1，
當(dāng)AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，
解得：k₁=-5，k₂=2，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
當(dāng)AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，
解得：k=-14，
由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
當(dāng)AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，
解得：k=11，
由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k為2或11時(shí)，△ABC是直角三角形．

（3）若AB=BC=5時(shí)，5是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的實(shí)數(shù)根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，無(wú)論k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：AB+AC=2k+3，當(dāng)k=3時(shí)，AB+AC=9，則周長(zhǎng)是9+5=14；
當(dāng)k=4時(shí)，AB+AC=8+3=11．則周長(zhǎng)是11+5=16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系是：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．在解題的過(guò)程中注意不要忽視三角形的邊長(zhǎng)是正數(shù)這一條件．